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10 Zufall und Wahrscheinlichkeit


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Funktion der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bereitstellung von Modellen, um den Verlauf zufallsabhängiger Prozesse abzuschätzen und von Stichproben auf Grundgesamtheiten zu schließen.
Zufallsvorgang
Prozess, der zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ѡ (lies: Klein-Omega) führt.
Elementarereignisse ѡ (lies: Klein-Omega)
Mögliche Ergebnisse. In einer Ergebnismenge Ω (lies: Groß-Omega) zusammengefasst. Sind nicht weiter zerlegbar, also einelementige Teilmengen von Ω.
Ergebnismenge Ω
Kann endlich oder unendlich viele Elemente enthalten.
Ereignis
Teilmenge A von Ω
A ⊂ Ω
A ist eine Teilmenge von Ω
Wenn A ⊂ Ω und ѡ das Ergebnis des Zufallsprozesses ist
dann ist das Ereignis A eingetreten wenn ѡ ∈ A (Element von).
Komplementärereignis zu A
Ā = Ω \ A (lies: Ā ist Differenzmenge von Ω und A). Ereignis, das genau dann eintritt, wenn A nicht eintritt. Umfasst alle Elementarereignisse, die zu Ω, nicht aber zu A gehören.
Sicheres Ereignis
Durch Ω definiert, da auf jeden Fall eines der Elemente dieser Menge als Ergebnis des Zufallsvorgangs realisiert wird.
Unmögliches Ereignis
Dargestellt durch die leere Menge ∅. Komplementärereignis zum sicheren Ereignis Ω.
Bildung neuer Ereignisse
Durch logische Verknüpfung von Ereignissen bzw. ihrer sie repräsentierenden Mengen, also Teilmengen einer Ergebnismenge Ω.
A ∩ B
Schnittmenge der Ereignisse A und B. Definition eines Ereignisses, das genau dann eintritt, wenn sowohl A als auch B eintritt.
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B, die sich ausschließen. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge ∅.
A ∪ B
Vereinigungsmenge. Ereignis, das dann realisiert wird, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B eintritt.
Venn-Diagramme
Veranschaulichen zusammengesetzte Ereignisse. Rechteck (Ergebnismenge Ω), in dem die Ausgangsereignisse (Mengen A, B, …) als Kreise oder Ellipsen dargestellt sind und Teilmengen repräsentieren.
Bedingungen von Zufallsvorgängen
kontrolliert oder nicht-kontrolliert
Zufallsexperiment
kontrollierter Zufallsvorgang
(Kontrolliertes) Zufallsexperiment (Beispiel)
Ziehung der Lottozahlen
Ergebnis eines nicht-kontrollierten Zufallsprozesses (Beispiel)
Durchschnittstemperatur im Juli an einem bestimmten Ort
Interesse bei Zufallsprozessen
Bewertung der Chance für das Eintreten von Ereignissen A anhand einer Maßzahl P(A)
P
Funktion, die jedem Ereignis A eine als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnete Zahl P (A) zuordnet, welche drei Bedingungen genügt.
Begriff Wahrscheinlichkeit in Alltagssprache und Statistik
Subjektive Einschätzung vs. objektive Quantifizierung
Begründer des heute gängigen Wahrscheinlichkeitsbegriffs der Statistik
Andrej Kolmogoroff (1903 - 1987), russischer Mathematiker
Nicht-Negativitätsbedingung
K1: P(A) ≥ 0 (Axiom von Kolmogoroff)
Normierung
K2: P(Ω) = 1 (Axiom von Kolmogoroff)
Additivität bei disjunkten Ereignissen
K3: P(A U B) = P(A) + P(B) falls A ∩ B = ∅ (Axiom von Kolmogoroff)
Axiomensystem von Kolmogoroff
Legt Eigenschaften fest, die für Wahrscheinlichkeiten gelten müssen, und liefert den Ausgangspunkt für die Herleitung von Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten.
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten: P(Aquer) =
1 - P(A)
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten: P(A U B) =
P(A) + P(B) - A ∩ B
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten: P(A \ B) =
P(A) - A ∩ B
Grenzen des Axiomensystems von Kolmogoroff
Kein Ansatzpunkt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Zur Quantifizierung werden Zusatzinformationen über den jeweiligen Zufallsvorgang benötigt.
Laplace-Experiment
Zufallsexperiment mit den Eigenschaften (1) Ergebnismenge ist endlich und (2) Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse sind alle gleich groß. Mit Axiomen von Kolmogoroff verträglich, betrifft aber nur eine spezielle Gruppe von Zufallsvorgängen.
Berechnung eines Laplace-Experiments
P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse
„fairer“ Würfel oder Münze
Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse erfüllt. Münze: 0,5. Würfel: 0,166…
„günstig“ (Ereignis)
Wertfrei (neutral). Kann sich auf willkommenes oder nicht-willkommenes Ereignis beziehen.
fn
Approximation (Schätzwert) für die interessierende Wahrscheinlichkeit, wobei die Schätzgüte sich mit wachsendem n tendenziell verbessert.
Kombinatorik
Teilgebiet der Mathematik, dass sich mit der Ermittlung der Anzahl von Möglichkeiten bei der Anordnung und Auswahl von Objekten befasst.
Urnenmodell
Wird in der Kombinatorik zur Herleitung zentraler Ergebnisse für Zufallsvorgänge mit endlicher Ergebnismenge eingesetzt.
Einfache Zufallsstichprobe
Jede denkbare Stichprobe des Umfangs n wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert.
Zufallsprozess
Stochastischer Prozess
Anzahl der Möglichkeiten n Elemente auszuwählen
Abhängig davon, ob mit oder ohne Zurücklegen nach der Ziehung und ob mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Geordnete Auswahl
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge.
Ungeordnete Auswahl
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
n
Umfang der Stichprobe
N
Umfang der Grundgesamtheit
P(A|B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die mit der Vorinformation B berechnete Wahrscheinlichkeit A unter der Bedingung B.
Satz von Bayer
P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)
Stochastische Unabhängigkeit
Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf das andere Ereignis.
Stochastisches Modell
Berücksichtigt Zufallseinflüsse.
Deterministisches Modell
Zufallseinflüsse spielen keine Rolle.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Teilgebiet der Statistik, das sich auf stochastische Modelle stützt.
Zufallsvariable (engl. random variable)
Merkmal, dessen Ausprägungen das Ergebnis eines Zufallsvorgangs sind. Abbild, das jedem Ereignis eines Zufallsvorgangs eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Ergebnisse des Zufallsprozesses
Ausprägungen oder Realisierungen einer Zufallsvariable.
Diskrete Zufallsvariable
Anzahl der Ausprägungen/Realisierungen ist abzählbar.
Stetige Zufallsvariable
Menge der Ausprägungen durch Intervall gegeben. Ihre Anzahl ist nicht mehr abzählbar.
Wahrscheinlichkeitsverteilung / (theoretische) Verteilung (engl. probability distribution)
Modell, welches das Verhalten einer Zufallsvariablen vollständig beschreibt. vs. empirische Verteilung.
Formel der theoretischen Verteilungsfunktion
F(x) := P(X ≤ x)
Dichtefunktion
Bei stetigen Verteilungen. Analogon zur relativen Häufigkeitsverteilung.
Lageparameter der Verteilung einer Zufallsvariablen
Erwartungswert (P) und die theoretischen Quantile
Streungsparameter der Verteilung einer Zufallsvariablen
theoretische Standardabweichung und deren Quadrat, die theoretische Varianz
Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Diskrete Gleichverteilung.
Stetige Verteilungen
Normalverteilung, x², t- und F-Verteilung
Anwendung der diskreten Gleichverteilung (diskret)
Glücksspiele (Würfeln, Roulette)
Anwendung der Binominalverteilung (Bernoulli, diskret)
Glücksspiele (z.B. Münzwurfexperiment)
Anwendung der Hypergeometrische Verteilung (diskret)
Glücksspirale (Lotto), QS
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (stetig)
Modellierung und Wartezeiten
Anwendung der Normalverteilung (stetig)
Modellierung von Messfehlern, Schadensabschätzung bei Versicherungen
Anwendung von x², t- und F-Verteilung (stetig)
Testen von Hypothesen (Verteilungsmodell für Prüfgrößen)