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11 Diskrete Zufallsvariablen


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Trägermenge der Zufallsvariablen X
k Werte x1, …, xk
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X (engl.: probability density function, pdf)
f, die jeder Ausprägung xi eine Eintrittswahrscheinlichkeit pi zuordnet. Kann nur nicht-negative Werte annehmen. Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten p1, p2, …, pk stets 1. Als Säulen- oder Balkendiagramm dargestellt.
Null setzen aller x ≠ xi
Definiert Wahrscheinlichkeitsfunktion für alle reellen Zahlen x, und nicht nur für Trägermenge.
Theoretische Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen (engl.: cumulative distribution funktion, cdf)
F(x) = P(X ≤ x). Monoton wachsende Treppenfunktion mit Sprungstellen in x = xi. Bei der letzten Sprungstelle in x = xk erreicht F(x) den Wert 1.
Diskrete Gleichverteilung (mit Parameter p)
Alle Ausprägungen xi besitzen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit p = 1/k, also pi ≣ p (lies: p-i identisch p).
Vergrößerung von n
Die im Experiment beobachteten (empirischen) relativen Häufigkeiten fi nähern sich den Werten f(xi) der (theoretischen) Wahrscheinlichkeitsfunktion an.
Bernoulli-Verteilung (Zweipunkt-Verteilung)
Spezialfall der diskreten Verteilung, wenn eine Zufallsvariable X nur zwei Ausprägungen aufweist, etwa x1 und x2 oder A und A-quer. Binomialverteilung mit n=1.
Binäre Zufallsvariable
Eine Variable X weist nur zwei Ausprägungen auf.
X ~ Be(p)
lies: X ist bernoulli-verteilt mit dem Parameter p. Beim Münzwurfexperiment z.B. p=0,5 bei einer „fairen“ Münze.
Bernoulli-Kette
Entwicklungspfad der relativen Häufigkeiten des Auftretens einer Ausprägung. Wiederholung eines Bernoulli-Experiments unter der Voraussetzung der Unabhängigkeit der Einzelexperimente.
Null-Eins-Verteilung
Spezialfall der Bernoulli-Verteilung (Binomialverteilung mit n=1), wenn man die Ausprägungen x1 und x2 zu 1 und 0 umcodiert.
Analogien zwischen empirischen und theoretischen Verteilungen
bei den diskreten Zufallsvariablen besonders augenfällig.
Erwartungswert
E(X) = µ = x1p1 + x2p2 + … + xkpk = ∑xipi (i=1 bis i=k). Entspricht empirischen Mittelwert.
Theoretische Varianz
σ2:= V(X) = (x1-µ)2p1 + (x2-µ)2p2+ … + (xk-µ)2pk = ∑(xi-µ)2pi (von i=1 bis i=k). σ2 = E[(X-µ)2] = E(X2)-µ2.
Theoretische Standardabweichung
σ := √V(X)
Lineartransformation
Y = aX + b. Addition von b entspricht Verschiebung des Nullpunkts. Multiplikation von X (a≠0) beinhaltet Streckung oder Stauung der Skala. Wenn a < 0 ist, Vorzeichenwechsel.
Standardisierung
X wird in eine Zufallsvariable Y mit Erwartungswert E(Y) = 0 und Varianz V(Y) = 1 überführt.
Erwartungswert der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen
E(X+Y) = E(X) + E(Y). Gilt auch für n ≥ 2.
Varianz der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen
V(X+Y) = V(X) + V(Y). Gilt auch für n ≥ 2.
Kenngrößen der Null-Eins-Verteilung
Erwartungswert µ=p. Standardabweichung σ2=p(1-p).
Quantile, Quartile, Median
Kenngrößen zur Charakterisierung auch bei theoretischen Verteilungen.
Praxisrelevante Beispiele für Binomialverteilungen
Geschlecht bei der Geburt, Gendefekt in einer Population (betroffene / nicht betroffene Individuen), Erwerbsstatus (erwerbstätig oder nicht), Qualitätsstatus von Produktion (spezifikationskonform oder nicht).
Binomialverteilung
Beschreibt das Zufallsverhalten der Zählvariablen X aus bei einem n-fach durchgeführten Bernoulli-Experiment, wobei die einzelnen Experimente voneinander unabhängig sind. Lässt sich durch Urnenmodell mit Zurücklegen veranschaulichen.
Bernoulli-Experiment, wenn Einzelexperimente nicht voneinander unabhängig sind.
Lässt sich durch Urnenmodell ohne Zurücklegen veranschaulichen.
Zählvariable
Weist aus, wie häufig einer der beiden möglichen Ausgänge x1=A und x2=A-quer und P(A)=p bzw. P(A-quer)=1-p innerhalb der Bernoulli-Kette auftrat.
Rückführung auf Binärvariablen
Möglich bei Merkmalen mit mehr als zwei Ausprägungen.
Beispiel für Bernoulli-Experiment
Jedes Ziehen einer Kugel, wenn man einer Urne mit N Kugeln, von denen M rot und die restlichen N-M schwarz sind, nacheinander n Kugeln ohne Zurücklegen entnimmt.
X ~ B(n;p)
lies: X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p
X ~ B(1;p) und X ~ Be(p)
Identisch, da die Bernoulli-Verteilung eine Binomialverteilung mit n=1 ist.
Werte der Verteilungsfunktion
Ergeben sich durch Aufsummieren von Werten der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für p=0,5
Symmetrisch bezüglich des Erwartungswerts.
Hypergeometrische Verteilung
Annahme einer Stichprobenentnahme mit zwei Ausprägungen ohne Zurücklegen. Durch drei Parameter beschrieben: N, M, n. Geht bei n=1 in Bernoulli-Verteilung über.
X ~ H(n;M;N)
X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern n, M und N.
Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung
µ = E(X) = n • M/N
Varianz der hypergeometrischen Verteilung
σ2 = V(X) = n • M/N • (1 - M/N) • N-n / N-1 (kleiner als die der Binomialverteilung, aber mit wachsendem N vernachlässigbar).
n = N bei der hypergeometrischen Verteilung (ohne Zurücklegen)
Vollständige Information über Urneninhalt. Zählvariable X dann keine Zufallsvariable mehr, sondern deterministische Größe mit dem Wert M. Nicht-stochastischer Charakter. V(X) = 0.
Trägermenge einer H(n;M;N)-verteilten Zufallsvariablen
Menge der möglichen Ausprägungen der Zählvariablen. T= {xmin, …, xmax} mit xmin=max(0;n-N+M) als dem kleinsten und xmax=min(n;M) als dem größten Element.
Umgang mit der Berechnung hypergeometrischer Verteilungen
In der Praxis stattdessen einfacher handhabbare Binomialverteilung, wenn N im Vergleich zu n groß ist. Faustregel: n/N < 0,05, da ohne/mit Zurücklegen immer weniger ins Gewicht fallen.