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12 Stetige Zufallsvariablen


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Trägermenge T bei stetigen Zufallsvariablen
Intervall. Menge der möglichen Realisationen. Häufig Menge R aller reellen Zahlen.
Verteilungsfunktion (engl.: cumulative density Funktion, cdf)
Charakterisiert das Verhalten einer stetigen Zufallsvariablen X. F(x) = P(X ≤ x) vollständig. (Wie bei auch bei diskreten Zufallsvariablen.)
Form der Verteilungsfunktion
Monoton wachsend. Strebt gegen 1.
Normierungseigenschaft
Gesamtfläche unter der Dichtekurve besitzt den Wert 1.
Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Dichte von X (engl.)
probability density function (pdf)
Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) einer stetigen Zufallsvariable X
Lässt sich nicht nur als Wert der Verteilungsfunktion F(x) an der Stelle x, sondern auch als Fläche unter der Dichtekurve f(x) bis zum Punkt x interpretieren.
Ableitung F’(x) der Verteilungsfunktion
Stimmt mit der Dichtfunktion f(x) überein für alle Werte x, bei denen sie stetig ist.
Rechteckverteilung
Besonders einfache stetige Gleichverteilung über [a, b].
Nutzung der Dichtefunktion
Nicht zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für isolierte Werte, sondern von Ereignissen unterhalb oder oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes bzw. innerhalb eines Intervalls.
F(x) = P(x≤X)
Realisationen von X liegen unterhalb eines bestimmten Schwellenwerts.
P(X>x) = 1 - F(x)
Realisationen von X liegen oberhalb eines bestimmten Schwellenwerts.
F(b) - F(a)
X nimmt Realisationen x in einem Intervall [a, b] an.
Kenngrößen stetiger Verteilungen
Wie bei diskreten Verteilungen: Erwartungswert E(X)=µ als Lageparameter, Varianz σ2 = V(X), Standardabweichung σ=√V(X)
Berechnung der Kenngrößen
Da eine Summendarstellung aufgrund der nicht abzählbaren Merkmalsausprägungen nicht mehr möglich ist, nutzt man durch Grenzwertbetrachtungen die Integraldarstellung.
z-Transformation
Besonders wichtige Lineartransformation. Übergang von X zu Z. Durch Einsetzen von a=1/σ und b=-µ/σ verifiziert man, dass für den Erwartungswert der standardisierten Variablen E(Z)=0 und für die Varianz V(Z)=1 gilt. Standardisierung.
Erwartungswert der Rechteckverteilung
µ = E(X) = (a+b)/2
Varianz der Rechteckverteilung
σ2 = V(X) = E(Xexp2)-µ2 = (b-a)exp2/12
Standardabweichung der Rechteckverteilung
σ = √V(X) = √(b-a)exp2/12
p-Quantile xp bei stetigen Verteilungen
Sind für jedes p mit 0 < p < 1 durch F(xp) = p eindeutig definiert. Anders als bei diskreten Verteilungen, die durch eine Treppenfunktion definiert sind.
Quantile mit kleinen Werten von p, z.B. p=0,05 oder p=0,01
Besondere Bedeutung der Irrtumswahrscheinlichkeiten für das Testen von Hypothesen.
Normalverteilung
Wichtigste Verteilung für die Modellierung von Zufallsvorgängen. Geht auf Carl Friedrich Gauss (1777-1855) zurück.
Bedeutung der Normalverteilung
Unter gewissen Voraussetzungen approximiert sie andere Verteilungen gut.
Einsatz der Normalverteilung
Häufig zur Modellierung von Zufallsvorgängen, bei denen mehrere zufällige Einflussgrößen zusammenwirken.
Ableitung wichtiger Verteilungen aus der Normalverteilung
Verwendung beim Testen von Hypothesen als Teststatistiken.
Dichte der Normalverteilung
Hängt von µ und σ2 und ist bezüglich µ symmetrisch.
exp x
e hoch x. Gerne verwendet, wenn im Exponenten Brüche stehen, weil diese dann nicht hochgestellt und damit besser lesbar sind.
Kurznotation X ~ N(µ;σ2)
X ist normalverteilt mit Erwartungswert mü und Varianz sigma-Quadrat.
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Nicht in geschlossener Form darstellbar. Ihre Werte lassen sich aber unter Verwendung von Näherungsverfahren darstellen.
Verbindung von Dichte- und Verteilungsfunktion
Über die Beziehung F’(x) = f(x)
Wendepunkte der Dichtefunktion jeder Normalverteilung
In x = µ-σ und in x = µ+σ.
Vergrößerung der Varianz bzw. der Standardabweichung
Dichte- und Verteilungsfunktion einer Normalverteilung verlaufen flacher.
Unterzieht man eine normalverteilte Zufallsvariable X einer Lineartransformation Y=aX+b
so ist auch die transformierte Variable Y wieder normalverteilt.
Standardnormalverteilung
µ=0 und σ2=1. Grundform, auf die alle Normalverteilungen zurückgeführt werden können.
Spezielle Lineartransformation für normalverteilte Zufallsvariable
Z := (X-µ) / σ
Z ~ N(0, 1)
Z ist normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Z ist standardnormalverteilt.
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
Geht durch Einsetzen von µ=0 und σ2=1 hervor.
Spezielle Notation für die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
statt f(..) Φ(..) lies: Klein-Phi
Notation für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
𝚽 lies: Groß-Phi
Symmetriebeziehung für 𝚽(z)
𝚽(-z) = 1-𝚽(z)
Wert 𝚽(z) an der Stelle z=a
Interpretierbar als Inhalt der Fläche unter der Dichtekurve bis zum Punkt z=a [wegen 𝚽’(z)=Φ(z)].
p-Quantil der Standardnormalverteilung
𝚽(zp) = p
Prozentränge
Quantile, mit 100 multipliziert.
Verteilungen, die aus der Normalverteilung abgeleitet werden
X2-, t-, F-
Anwendung der 𝛘2-Verteilung
Testen von Hypothesen über die Varianz einer Normalverteilung.
Anwendung der t-Verteilung
Testen von Hypothesen zum Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen.
Anwendung der F-Verteilung
Testen von Hypothesen in der Regressions- und Varianzanalyse.
Anzahl n der Freiheitsgrade der 𝛘2-Verteilung
Formparameter, determiniert die Form der Dichtefunktion f(x) sowie der Verteilungsfunktion F(x).
Kenngrößen einer 𝛘n hoch 2-verteilten Variablen X
Erwartungswert E(X) = n. Varianz V(X)=2n.
linkssteile = rechtsschiefe Verteilung
Linke Flanke fällt steiler ab. Asymmetrisch.
rechtssteile = linksschiefe Verteilung
Rechte Flanke fällt stärker ab. Asymmetrisch.
T ~ tn
T ist t-verteilt mit n Freiheitsgraden
Kenngrößen der t-Verteilung
Erwartungswert E(T)=0. Varianz V(T)=n/(n-2).
Student-Verteilung
Gelegentliche Benennung der t-Verteilung (nach Pseudonym von William S. Gosset).
Form der Dichte der t-Verteilung
Symmetrisch zum Nullpunkt.
Zunehmende Anzahl n der Freiheitsgrade
Dichte der t-Verteilung nähert sich der der Standardnormalverteilung an.
Für große n kann man die Quantile tn;p der t-Verteilung
durch die Quantile zp der Standardnormalverteilung approximieren. Ab n=30 schon recht gut.
Y ~ Fm;n
Y ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden.