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13 Bivariate Verteilungen


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P (A ∩ B) = P(A) • P(B)
A und B sind unabhängig.
Gemeinsame Verteilungsfunktion zweier Variablen
F(x;y) := P(X≤x; Y≤y)
F(x; y) = Fx(X≤x)•Fy(Y≤y)
X und Y sind (stochastisch) unabhängig. Gilt auch für mehr als zwei Zufallsvariablen.
Die Zufallsvariablen X1, X2, …, Xn werden meist nicht direkt herangezogen
sondern anhand einer Stichprobenfunktion aggregiert.
Schätzfunktion
Stichprobenfunktion im Kontext der Schätzung
Test- oder Prüfstatistik
Stichprobenfunktion beim Testen
Stichprobenmittelwert
Wichtige Stichprobenfunktion. Xquer := 1/n•(X1+X2+ … + Xn) = 1/n∑Xi.
Stichprobenvarianz
Stichprobenfunktion, die beim Schätzen und Testen oft gebraucht wird. Sexp2 := 1/n•∑(Xi-Xquer)exp2.
Korrigierte Stichprobenvarianz
Beim Schätzen und Testen vor allem gebraucht, da sie günstigere Schätzeigenschaften hat.
(Theoretische) Kovarianz von X und Y.
Nicht-normiertes Maß für einen linearen Zusammenhang. Maßstabsabhängig. Keine untere oder obere Schranke.
Cov(X;Y) :=
E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)•E(Y)
Richtung der Kovarianz
Positiv bei gleichgerichteter Tendenz von X und Y. Negativ bei gegenläufiger Tendenz. Bei 0 kein linearer Zusammenhang.
X und Y unabhängig
Cov(X;Y) = 0
Korrelationskoeffizient ρ (lies: rho)
Liegt wie sein empirisches Analogon stets zwischen -1 und +1.
|ρ| = 1
Zufallsvariablen X und Y sind linear abhängig, etwa Y = aX+b.
Obere Schranke ρ=1
a > 0. Gleichsinnige Tendenz.
Untere Schranke ρ=-1
a < 0. Gegensinnige Tendenz.
ρ = 0
Unkorreliertheit der Variablen X und Y.
ρ ≠ 0
Korreliertheit der Variablen X und Y.
Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit
Gegenschluss gilt nicht, d.h. unkorrelierte Zufallsvariablen sind nicht zwingend auch stochastisch unabhängig.