Level 13
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14 Schätzung von Parametern


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θ (lies: theta)
Unbekannter Parameter der Verteilung von X, kann z. B. der Erwartungswert μ sein, die Varianz σ2 oder ein Anteilswert p.
Aus Stichproben abgeleiteten Schlüsse
natürlich nicht fehlerfrei.
Minimierung von Fehlerwahrscheinlichkeiten
Zufällige Auswahl der Stichprobenelemente.
Ziel der Punktschätzung
Einen unbekannten Parameter möglichst gut treffen.
Intervallschätzung
Legt einen als Konfidenzintervall bezeichneten Bereich fest, in dem der unbekannte Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1−𝜶 liegt, wobei 𝜶 eine vorgegebene kleine Irrtumswahrscheinlichkeit ist.
Schätzstatistik, Schätzfunktion, Schätzer
Realisation einer Zufallsvariablen g(X1,X2, …,Xn), errechnet aus Stichprobendaten.
Verwendung von ^ über einer Kenngröße ist in der Statistik
Üblich für die Kennzeichnung von Schätzungen.
E(θ^) lies: theta-Dach =
θ, wenn der Schätzer erwartungstreu ist.
Erwartungstreue oder Unverzerrtheit
Gütekriterium für Schätzung. Genau dann, wenn die Verzerrung eines Schätzers Null ist.
Verzerrung oder Bias (engl.: bias)
Differenz B(θ^) := E(θ^) - θ = E(θ^-θ). Schätzer nicht erwartungstreu.
Asymptotisch erwartungstreu, asymptotisch unverzerrt (Gütekriterium Konsistenz)
Schätzer θ^ ist zwar verzerrt, besitzt aber eine Verzerrung, die gegen Null strebt, wenn der Umfang n des zur Berechnung von θ^ verwendeten Datensatzes gegen ∞ strebt.
Drücken Variabilität einer Schätzung als Präzisionsmaß aus
Varianz oder Standardabweichung
Standardfehler (engl.: standard error)
Bezeichnung für die Standardabweichung einer Schätzfunktion
MSE, mittlerer quadratischer Fehler (engl.: mean squared error)
Kriterium, das sowohl die Verzerrung als auch die Streuung berücksichtigt. Gütemaß. = V(θ^)+B(θ^)exp2. Repräsentiert additive Verknüpfung von Varianz und quadrierter Verzerrung.
Stichprobenmittelwert (bei unabhängigen Stichprobenvariablen)
E( Xquer) = 1/n · [ E( X1) + E( X2) + . . . + E( Xn)] = 1/n · n · μ = μ. Zur unverzerrten Schätzung für den Erwartungswert μ einer Zufallsvariablen.
Varianz (bei unabhängigen Stichprobenvariablen)
V ( Xquer ) = σ2 / n.
V(Xquer) = MSE (Xquer)
wegen der Unverzerrtheit von Xquer.
Qualität des Schätzers Xquer erhöht sich
mit Erhöhung des Stichprobenumfangs n.
Stichprobenvarianz S2
Zur Schätzung der Varianz σ2. E(S2) = (n-1)/n• σ2. Verzerrte Schätzung für σ2. Nur asymptotisch erwartungstreu.
Korrigierte Stichprobenvarianz
E(S*2) = n/(n-1)•E(S2) = σ2. Um eine unverzerrte Schätzung für σ2 zu erhalten.
Schätzwerte für die Bernoulli-Verteilung
Erwartungswert E(p^)=p. Varianz V(p^)=p(1-p)/n.
Punktschätzung θ^
Liefert einen einzigen Schätzwert, der meist mit θ nicht exakt übereinstimmt. Ihre Güte hängt von der Verzerrung (Erwartungstreue) und der Varianz bzw. Standardabweichung (Effizienz) des Schätzers ab.
Intervallschätzung
„Mittlere Lage“ und „Streuung“ einer Schätzfunktion werden durch Ermittlung eines Intervalls verknüpft, das den zu schätzenden Parameter θ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1-𝜶 enthält.
Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1-𝜶 für µ
Setzt voraus, dass die Varianz σ2 bzw. die Standardabweichung σ der N(µ;σ2)-verteilten Variablen X bekannt ist.
Intervallgrenzen
sind zufallsabhängig.
Länge des Konfidenzintervalls
Fest. Hängt von der Irrtumswahrscheinlichkeit 𝜶 und vom Stichprobenumfang n ab.
Mit abnehmender Irrtumswahrscheinlichkeit 𝜶 (wachsendem Konfidenzniveau 1-𝜶)
nimmt die Länge des Konfidenzintervalls zu.
Mit zunehmendem n
wird das Konfidenzintervall schmaler.