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6 Konzentration von Merkmalswerten


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Konzentration
Vereinigung eines hohen Anteils der Merkmalsausprägungen auf eine relativ geringe Anzahl der Merkmalsträger
Ziel der Konzentrationsmessung
Numerische Bewertung von Ungleichheiten bei der Verteilung von Merkmalswerten auf die einzelnen Merkmalsträger.
Lorenzkurve genannt nach
Max Otto Lorenz (1876-1959), amerikanischer Statistiker
Lorenzkurve
Ein aus n Teilstrecken bestehender monoton steigender Polygonzug der den Punkt (0;0) mit den Punkten (u1;v1), …, (un;vn) verbindet. Grafisches Instrument zur Beurteilung relativer Konzentration.
Lorenzkurve bei fehlender Konzentration
Direkte Verbindung zwischen (0;0) und (1;1). A=0.
Lorenzkurve bei vorhandener Konzentration
Von (0;0) bis (1;1) verlaufender durchhängender Polygonzug.
Stärkeres Durchhängen der Lorenzkurve
Stärkere Konzentration
Grenze der Lorenzkurve
Visualisiert Konzentrationsphänomene, repräsentiert aber kein Maß für die Stärke der Konzentration.
Lorenzkurve Rechenschritt 1
u(i) := i/n i=1,…,n. Zerlegung in n gleich lange Teilintervalle.
ui
Anteil der ersten i Werte der Liste an der Gesamtzahl n der Elemente der Urliste.
Lorenzkurve Rechenschritt 2 (Merkmalssumme)
p(i) := x(1)+x(2)+...+x(i) i=1,…,n. Summe der kleinsten i Merkmalswerte.
Lorenzkurve Rechenschritt 3
v(i) := p(i)/p(n) i=1,…,n. Anteil der zugehörigen Merkmalsträger pi an der Merkmalssumme pn.
Gini-Koeffizient G
Konzentrationsmaß. Quantifizierung von Ungleichheiten. Das Doppelte des Flächeninhalts zwischen der Lorenzkurve und der Diagonale.
Fläche A-max (maximale Fläche)
A-max = (n-1)/2n
Gini G-max (maximaler Gini-Koeffizient)
G-max = (n-1)/2
Gini-Koeffizient min-max
0 ≤ G ≤ (n-1)/n
Formel normierter Gini-Koefizient
G* := G/G-max = [n/(n-1)]*G
Normierter G* min-max
0 ≤ G* ≤ 1
Mäßige Konzentration
0 ≤ G* ≤ 0,5
Deutliche Konzentrazion
0 ≤ G* ≤ 1
Besonderes Anwendungsfeld für Gini-Koeffizienten
Quantifizierung von Einkommensungleichheiten
Alternative zum Gini-Koeffizienten
Quantilsquotienten (Verhältnis D9/D1)
Hauptkritik am Gini-Koeffizienten
Zeigt fehlende Konzentration, wenn alle Merkmalsträger einer Liste übereinstimmen.
Funktion des Gini-Koeffizienten
Misst relative Konzentration.
Herfindal-Index H
Misst absolute Konzentration.
Formel Herfindal-Index
H = ∑(Xi/pn)² = 1/pn²•∑xi²
H-min beim Herfindal-Index
1/n ≤ H ≤ 1 (positive untere Schranke)
Anwendungsbereiche des Herfindal-Index
Messung unerwünschter Anbieterkonzentration (Kartellbehörden).
Wichtiger Unterschied des Herfindal-Index zum Gini-Koeffizienten
Elemente der Ausgangsliste müssen nicht unbedingt geordnet werden.
Aussage der Lorenzkurve
Welcher Anteil der Gesamtmerkmalssumme wird von welchem Anteil der Merkmalsträger getragen.
Definition des Gini-Koeffizienten
Quotient der Konzentrationsfläche A und der maximal möglichen Konzentrationsfläche.