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9 Zusammenhangsmaße


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χ²-Koeffizient
Chi-Quadrat. Zusammenhangsmaß für zwei nominalskalierte Merkmale.
χ² Chi-Quadrat-Formel
χ² := ∑i=1 bis k ∑ j=1 bis m (hij - h~ij)² / h~ij
h~ij
= hi.・h.j / n. Erwarteter Wert für hij. Randhäufigkeit des einen Merkmals multipliziert mit Randhäufigkeit des zweiten Merkmals dividiert durch Anzahl der Datensätze.
χ²-Koeffizient bei empirischer Unabhängigkeit
Null
χ² bei einem schwachen Zusammenhang
kleine Werte
χ² bei einem starken Zusammenhang
große Werte
χ²max (die obere Schranke)
Abhängig vom Umfang n des Datensatzes sowie den Ausprägungen k und m.
M
Minimum der Kontingenztafel-Angabe, bei 2x3 z.B. =2
Minimum M von χ²
0 ≤ χ² ≤ χ² = n•(M-1) M := min(k;m)
χ² = χ²max
Vollständige Abhängigkeit.
Φ Phi-Koeffizient
Vom χ² abgeleitetes Zusammenhangsmaß, dessen Wert nicht von n abhängt
Formel Φ Phi-Koeffizient
Φ := √χ² /n
Beschränkung Φ Phi-Koeffizient nach oben
0 ≤ Φ ≤ Φmax := √M-1
Cramer´s V
Normiertes Kontingenzkoeffizient mit Werte zwischen 0 und 1
Cramer´s V Ausprägungen
0 ≤ V ≤ 1
Cramer´s V Formel
V := √χ²/χ²max = √χ²/n•(m-1)
Bei einer Vierfeldertafel (M=2)
Φ = V = |h11h22-h12h21|/√h1. h2. h.1 h.2
Normiertes Maß
Liegt immer zwischen 0 und 1.
Bei Merkmalen mit metrischer Skalierung sind
Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen interpretierbar.
(Empirische) Kovarianz
s(xy) := 1/n•∑ i=1 bis n (xi - x-quer)(yi - y-quer) = xy-quer - x-quer•y-quer
Produkt der Mittelwertabweichungen
pi := (xi-x-quer)(yi-y-quer) i=1,…,n.
Wenn pi positiv ist
dann Ai = pi wenn (xi-xquer) und (yi-yquer) entweder beide positiv oder beide negativ (1. oder 3. Quadranten)
Wenn pi negativ ist
dann Ai = -pi wenn einer der beiden Differenzterme positiv und der andere negativ ist
Kovarianz
maßstabsabhängig
Korrelationskoeffizient r
Maßstabsunabhängiges und dimensionsloses Zusammenhangsmaß.
Formel für Korrelationskoeffizienten
r := sxy/sx•sy
Benennung des Korrelationskoeffizienten r
Nach Bravais-Pearson.
Ausführliche Formel für r
r = xyquer-xquer • yquer/√x²quer-xquer² • √y²quer-yquer²
r > 0
positive lineare Korrelation
r < 0
negative lineare Korrelation
r = 0
keine lineare Korrelation
Bewertungsintervall für r
-1 ≤ r ≤ 1
| r | = 1 (lies r-Betrag)
vollständige Korrelation (lineare Abhängigkeit)
Korrelationskoeffizient
Maß für einen linearen Zusammenhang.
0 < | r | < 0,5
schwache Korrelation
0,5 < | r | < 1
mäßige bis starke Korrelation
Scheinkorrelation
Scheinbarer Zusammenhang zweier Merkmale, der aber durch ein drittes bestimmt wird. Fehlender direkter sachlogischer Zusammenhang.
Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Quantifiziert die Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen X und Y.
*Partieller Korrelationskoeffizient
rxy.z. Gibt an, wie stark die Korrelation zwischen X und Y ausgeprägt wäre, wenn der Einfluss von Z ausgeblendet würde.
*Partielle Korrelation oder Partialkorrelation
Von Drittvariableneinflüssen bereinigte Korrelation. Durch eine solche Bereinigung lassen sich Scheinkorrelationen aufdecken.
Für ordinalskalierte Merkmale
ist der Korrelationskoeffizient r nicht anwendbar
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman rSP (lies: r-s-p)
Korrelationskoeffizient für ordinalskalierte Merkmale
rSP > 0
Gleichsinniger Zusammenhang zwischen den Rangplätzen der Merkmalswerte.
rSP < 0
Gegensinniger monotoner Zusammenhang zwischen den Rangplätzen der Merkmalswerte.
rSP = 0
Fehlender Zusammenhang.
Vorteil des rSP bei metrischen Merkmalen
Geringe Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern (robust).
Nachteil des rSP bei metrischen Merkmalen
Es wird nur die Rangposition der Merkmalswerte verarbeitet, eingeschränkte Ausschöpfung der in den Daten enthaltenen Information.